Analisis Terhadap Relativisme pada Penelitian
5 tahun yang lalu
INTEGRAL DOMAIN (DAERAH INTEGRAL)
Pada himpunan
bilangan riil, persamaan a.b = 0 selalu berimplikasi a = 0 atau b = 0. Namun
tidak demikian halnya pada beberapa himpunan, seperti Z6 misalnya,
persamaan a.b = 0 bisa berimplikasi a = [2] dan b = [3], a = [3] dan b = [4],
dan sebagainya. Dari kenyataan ini kemudian muncul konsep pembagi nol yang pada
akhirnya melahirkan sebuah konsep tentang integral domain.
A.
Elemen Pembagi
Nol dan Sifatnya
Definisi A.1:
Misalkan R suatu ring dan a Î R,
a ¹ 0 maka:
1. a disebut elemen pembagi nol kiri jika $ b Î R, b ¹ 0 sehingga
a.b = 0
2.
Jika $ b Î R, b ¹ 0, b.a = 0 maka a disebut elemen pembagi nol kanan.
3.
Jika $ b Î R, b ¹ 0, sehingga
a.b = b.a = 0 maka a disebut elemen
pembagi nol.
4.
a disebut elemen bukan pembagi nol jika (" b Î R,
b ¹ 0, ab ¹
0) atau (ab = 0 Þ b = 0)
5.
Elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu 0, merupakan pembagi nol karena 0.a = a.0
= 0 dengan a ¹ 0. Tetapi apabila R mempunyai elemen
satuan e, maka e bukan
pembagi nol, karena " b Î R,
e.b = b.e = b.
Contoh:
1. Pada Z12, [3]·[4] = [0], dengan
[3] ≠ [0] dan [4] ≠ [0], sehingga baik [3] maupun [4] merupakan pembagi nol
dalam Z12.
2. Pada Z6, elemen-elemen yang
merupakan pembagi nol adalah [2], [3] dan [4], sebab [2].[3] = [3].[2] = [0],
[3].[4] = [4].[3] = [0]. Sedangkan Z3 tidak punya elemen-elemen yang
merupakan pembagi nol.
3. M = 
adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian matriks maka 
adalah elemen pembagi nol karena terdapat 
dan
adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian matriks maka adalah elemen pembagi nol karena terdapat dan 
Definisi A.2:
Suatu pembagi nol a disebut pembagi nol sejati (proper divisor of zero), bila dan hanya
bila a ¹ 0. Tetapi jika a = 0, maka elemen 0 ini sering kali disebut elemen pembagi nol
tak sejati.
Dalam himpunan bilangan bulat telah diketahui bahwa jika
a,b Î Z dan
a.b = 0
maka pasti a = 0 atau b = 0.
Sehingga ring dari bilangan bulat tidak memuat pembagi nol sejati.
Sebaliknya terdapat juga ring-ring yang memuat pembagi nol sejati.
Definisi A.3:
Suatu ring R tidak memuat pembagi nol sejati bila dan hanya bila untuk
setiap a,b Î
R, jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0.
Atau dengan kontraposisi: a ≠ 0 dan b ≠ 0 ⇒ a.b ≠ 0.
Teorema
A.1:
Misalkan
R adalah ring dengan elemen satuan dan a Î R yang tak nol. Jika a mempunyai invers maka a bukan
pembagi nol.
Bukti :
Diketahui a mempunyai invers maka terdapat b
elemen dalam R
sehingga ab = ba = 1. Akan ditunjukkan bahwa
a bukan pembagi nol.
Andaikan a elemen pembagi nol maka terdapat c
¹ 0 sehingga ac = ca = 0
ac = 0 dan ca = 0
Û b(ac) = b.0 Û (ca)b = 0b (sifat
sederhana ring)
Û (ba)c = 0 Û c(ab) = 0 (assosiatif)
Û 1c = c = 0 Û c1 = c = 0 (sifat
sederhana ring)
kontradiksi
dengan c ¹ 0, sehingga pengandaian salah dan yang benar
bahwa a bukan pembagi nol.
Teorema A.2:
Suatu ring tidak memuat elemen pembagi nol
jika dan hanya jika ring tersebut berlaku sifat kanselasi.
Bukti:
(Þ) Misalkan
R ring yang tidak memuat pembagi nol.
Akan ditunjukkan bahwa
dalam R berlaku sifat kanselasi.
Ambil a, b, c Î R dengan a ¹
0 sedemikian sehingga a.b = a.c dan b.a =
c.a, maka:
a.b – a.c = 0 dan b.a
– c.a = 0
Û a(b – c) = 0 Û (b – c)a = 0 sifat
sederhana ring
Û b – c = 0 Û b – c = 0 a¹0 dan R tidak memuat p n.
Û b = c Û b = c
(Ü) Misalkan R ring yang berlaku sifat pelenyapan.
Akan ditunjukkan R tidak memuat elemen
pembagi nol.
Ambil a Î R
dengan a ¹ 0 sedemikaian sehingga a.b = 0 dan b.a = 0
untuk suatu b Î R, maka:
a.b = 0 = a.0 dan b.a = 0 = 0.a sifat ring (a.0 = 0.a = 0)
Û
b = 0 Û b = 0 kanselasi
Terlihat a bukan pembagi nol. Dengan kata
lain, ring R tidak memuat elemen pembagi nol.
Teorema
A.3:
Diberikan a dan b elemen ring R. Jika a dan b
bukan pembagi nol ring R maka a.b bukan pembagi nol.
Bukti :
Diberikan a dan b bukan pembagi nol. Akan
dibuktikan ab bukan pembagi nol.
Diandaikan ab merupakan pembagi nol kiri.
Maka terdapat c Î
R, c ≠ 0 sedemikian sehingga (ab)c = 0.
Tetapi (ab)c = a(bc).
Karena a bukan pembagi nol dan a(bc) = 0 maka
bc = 0.
Karena b bukan pembagi nol dan bc = 0 maka c
= 0.
Kontradiksi dengan pengandaian c ≠ 0, maka
pengandaian harus diingkar.
Jadi c = 0.
B. Integral
Domain (Daerah Integral)
Definisi B.1:
Sebuah ring komutatif dengan elemen kesatuan/elemen
identitas (unity) dan tidak memuat pembagi nol disebut integral domain.
Jadi suatu ring R disebut daerah integral
jika:
1. R merupakan ring komutatif.
2. R mempunyai elemen identitas e terhadap
perkalian.
3. R tidak mempunyai pembagi nol.
Contoh:
1.
Buktikan
bahwa R = {Bilangan genap} dengan operasi 
dan 
adalah daerah integral!
dan adalah daerah integral!
Bukti:
a.
(R, +,
.) merupakan ring komutatif
(i)
" a, bÎ R, a + b Î R
Misal: b = 2m, a = 2n
a + b =
2m + 2n
= 2(m + n) Î R
Terbukti
bersifat tertutup terhadap operasi +
(ii) (" a, bÎ R) a + b = b + a
Misal: a = 2m, b = 2n
a + b =
2m + 2n
=
2n + 2m
=
a + b
Terbukti
bersifat komutatif terhadap operasi +
(iii) (" a, b, c Î R) (a + b) + c = a + (b + c)
Misal: a = 2m, b = 2n, c = 2p
(a +
b) + c = (2m + 2n) + 2p
= 2 (m + n) + 2p
= 2 (m + n + p)
= 2 (m + (n +
p)
= 2m + 2 (n +
p)
= 2m + (2n +
2p)
= a + (b + c)
Terbukti bersifat asosiatif terhadap operasi +
(iv) $ e Î R, a + e = e + a = a
Misalnya: a = 2m
a + e = a dan
e + a = a
2m + e =
2m e + 2m = 2m
2m + e – 2m = 2m – 2m e + 2m – 2m = 2m – 2m
e + 0 =
0 e + 0 = 0
e = 0 e = 0
Terbukti memiliki elemen identitas terhadap
operasi +, yaitu e = 0
(v) " a Î R, $ a-1 Î R, a + a-1 = a-1 + a = e
Misal: a = 2m, e =
0
a + 
= e dan + a = e
= e dan + a = e
2m
+ = 0 + 2m = 0
= 0 + 2m = 0
2m + 
2m = 0 – 2m
+ 2m – 2m = 0 – 2m
2m = 0 – 2m
+ 2m – 2m = 0 – 2m + 0 =
-2m + 0 = -2m = -2m = -2m
Terbukti
memiliki elemen invers terhadap operasi +, dengan = -2m
= -2m
(vi) " a, bÎ R, a.b Î R
Misal:
a = 2m, b = 2n
a.b = 2m.2n
= 4mn Î R.
Terbukti bersifat tertutup terhadap operasi .
(vii)
" a, b, c Î R (a.b).c = a.(b.c)
Misal: a = 2m, b = 2n,
c = 2p
(a.b).c =
( 2m.2n).2p
=
2m.2n.2p
=
2m.(2n.2p)
=
a.(b.c)
Terbukti
bersifat asosiatif terhadap operasi .
(viii)
" a, b Î R, a.b = b.a
Misal: a = 2m, b = 2n
a.b =
2m.2n
= 2n.2m
= b.a
Terbukti bersifat komutatif terhadap operasi .
(ix)
" a, b, c Î R a.(b + c) = a.b + a.c dan
" a, b, c Î R (b + c).a = b.a + c.a
Misal: a = 2m, b = 2n, c = 2p
c.(a + b) = 2p(2m +
2n)
=
(2p.2m) + (2p.2n)
=
(c.a) + (c.b)
Terbukti bersifat distributif kiri terhadap operasi + dan
.
(a + b).c = (2m +
2n) .2p
=
(2m.2p) + (2n.2p)
=
(a.c) + (b.c)
Terbukti
bersifat distributif kanan terhadap operasi + dan .
b. R mempunyai elemen identitas e terhadap
operasi .
Misalnya: a = 2m
a.e = a dan e.a = a
2m.e = 2m
e.2m = 2m
2m.e : 2m = 2m : 2m e.2m : 2m =
2m : 2m
e.1 = 1 e.1 = 1
e = 1 e = 1
Terbukti memiliki elemen identitas terhadap
operasi . yaitu e = 1
c. R tidak punya pembagi nol
Akan dibuktikan bahwa R tidak memuat pembagi nol.
Ambil sebarang a ≠ 0 
R. Kemudian untuk a.b = 0, dengan
a ≠ 0 maka haruslah b = 0.
R. Kemudian untuk a.b = 0, dengan
a ≠ 0 maka haruslah b = 0.
Misal: a = 2m
a.b = 0
(2m).b = 0
(2m).b : (2m) = 0 : 2m
b.1 = 0
b = 0
Ini berarti tidak ada b ≠ 0 R yang memenuhi persamaan a.b =
0, maka terbukti bahwa R tidak punya pembagi nol.
R yang memenuhi persamaan a.b =
0, maka terbukti bahwa R tidak punya pembagi nol.
Jadi, karena semua syarat a, b dan c
terpenuhi maka (R, +, .) merupakan daerah integral.
2. Ring Z6 bukan daerah integral
karena memuat pembagi nol. Hal ini timbul karena 6 bukan prima. Secara umum,
jika n tidak prima dan n = rs dengan r dan s lebih dari 1, maka dalam Zn,
[r] Ä [s] = [rs] = [n] = [0] dengan [r] ≠ [0] dan
[s] ≠ [0]. Maka Zn bukan daerah integral jika n tidak prima. Jika n
prima maka Zn adalah daerah integral.
3. Z3, Z4, Z5,
Z9 masing-masing merupakan ring komutatif, ring dengan elemen
satuan. Z3, Z5 merupakan daerah integral dan merupakan
field sedangkan Z4, Z9 bukan merupakan daerah integral
dan bukan lapangan.
Teorema B.1:
Untuk
n>1, maka Zn merupakan integral domain jika dan hanya jika n
bilangan prima.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa Zn
tidak memiliki pembagi nol jika dan hanya jika n bilangan prima.
p Ü q Misalkan
n bilangan prima. Ambil
sebarang [a] ≠ [0] Zn, dan [a].[b] =
[0] untuk 
[b] Zn.
Zn, dan [a].[b] =
[0] untuk [b] Zn.
Karena [a].[b] = [0] maka [ab]
= [0], sehingga n½ab. Tetapi
jika [a] ¹ [0] maka n½b sehingga n½ab dab n½a.
Untuk
bilangan prima n,maka n½b dengan [b] = [0]. Akan ditunjukkan bahwa jika [a] ¹ [0], maka [a].[b] ¹ [0] untuk itu pastilah [b] = [0].
Jadi,
Zn tidak punya pembagi nol sehingga merupakan daerah integral.
~p Ü ~q Misalkan n bukan
bilangan prima, maka n punya pembagi lain antara ± 1 dan ± n, sehingga ada
bilangan a dan b yaitu
n
= ab, dimana 1 < a < n dan 1 < b < n
Ini
berarti bahwa [a] ¹ [0], [b] ¹ [0], tetapi
[a].[b]
= [ab] = [n] = [0]
Jadi,
[a] merupakan pembagi nol Î Zn sehingga Zn bukan daerah
integral
Dari kedua
bukti di atas, dapat dilihat bahwa n bilangan prima jika dan hanya jika Zn
daerah integral.
Teorema B.2:
Jika
a, b, dan c merupakan elemen dari daerah integral D dengan a ≠ 0 dan ab = ac,
maka b = c.
Bukti:
Misalkan
D merupakan daerah integral.
Ambil
sebarang a, b, dan c D dengan a ≠ 0 dan ab = ac, maka:
D dengan a ≠ 0 dan ab = ac, maka:
ab =
ac
ab - ac = ac - ac
ab - ac = 0
a(b - c) = 0
Untuk
a ≠ 0 dan D tidak punya pembagi nol, maka b – c = 0.
Jadi,
b = c
Teorema B.3:
Setiap
field merupakan daerah integral.
Bukti:
Misalkan
F suatu field. Akan dibuktikan bahwa F daerah integral, yaitu dengan
menunjukkan bahwa F tidak punya pembagi nol.
Ambil
sebarang a, b F dengan a.b = 0. Jika a ≠ 0, maka a-1
F dan
F dengan a.b = 0. Jika a ≠ 0, maka a-1
F dan
a.b =
0
a-1(ab) = a-1.0
(a-1.a)b = 0
e.b =
0
b =
0
Identik
untuk b ≠ 0, maka a = 0.
Jadi,
F tidak punya pembagi nol sehingga F merupakan daerah integral.
Akan tetapi setiap daerah integral
bukan merupakan field. Hal ini terjadi karena pada daerah integral himpunan
bilangan Z, hanya -1 dan 1 yang mempunyai elemen identitas terhadap pergandaan
(merupakan anggota himpunan bilangan Z), sedangkan untuk anggota yang lainnya
elemen identitasnya bukan merupakan anggota himpunan bilangan Z. Hal ini
membuktikan bahwa setiap daerah integral bukan merupakan field.
Teorema B.4:
Setiap
daerah integral berhingga merupakan field.
Bukti:
Misalkan
D adalah daerah integral berhingga dengan n elemen, katakanlah:
D = {d1, d2, d3,
..., dn}
Misalkan
a sebarang eleman tak nol dari D sebanyak n elemen, maka:
a.d1, a.d2, a.d3,
..., a.dn
Karena
a ≠ 0, sehingga kita mempunyai
a.ai = a.aj
Berakibat
ai = aj
Karena
itu n elemen di atas semua berbeda, dan karenanya mereka semua adalah elemen D
(mungkin dalam susunan yang berbeda). Satu dari mereka, katakanlah a.ak,
harus sama dengan elemen identitas 1 dari D, atau
a.ak = 1
Karena
itu ak adalah invers dari a. Dan karena a adalah sebarang elemen tak
nol dari D, maka D adalah suatu field.
LATIHAN
SOAL
1.
Tunjukan
apakah Z4
merupakan Integral Domain!
2.
Diberikan
N = 
adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian matriks. Selidikilah apakah N merupakan daerah integral, ataukah tidak!
adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian matriks. Selidikilah apakah N merupakan daerah integral, ataukah tidak!
3.
Diketahui M = 
adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian matriks. Selidikilah apakah M merupakan daerah
integral, ataukah tidak!
adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian matriks. Selidikilah apakah M merupakan daerah
integral, ataukah tidak!1 Comment:
-
25 Februari 2017 pukul 21.35
Maaf sebelumnya, yang contoh integral domain unsur identitas juga harus ada di R={bilangan genap}
Posting Komentar